嵌入空间的复杂网络：质量，拓扑距离和欧几里得距离之间的距离和比例关系

摘要：许多真实的网络被嵌入到空间中，其中一些链路的长度随着距离的幂律分布而衰减。最近发现了这样的系统可以通过距离概念来表征的指示。在此，我们基于对嵌入距离为d_e=1和d_e=2的晶格上的模型网络的广泛数值模拟，为这一要求提供了进一步的支持。我们根据(a)网络质量的幂律定标来评估距离d欧几里得半径r和(b)随机步行者经过的距离r返回原点的概率。两种方法产生的维数相同。对于δ<d_e的网络，d是无穷大，而对于δ>2的网络，d获得嵌入维数的值。在感兴趣的中间状态d_e≤δ<2d_e中，我们的数值结果表明d从d=∞连续减小到d_e，其中d接近d_e时d−d_e~(δ-d_e)^(-1)。最后，我们讨论质量M和欧氏距离r与拓扑距离ℓ(网络中两个站点之间的最小链接数)的缩放比例。我们的结果表明，在中间态d_e≤δ<2d_e时，M(ℓ)和r(ℓ)并不随ℓ的幂定律而增加，而随着指数的扩展，M(ℓ)∼exp[[Al}^(δ′(2-δ′))]和r(ℓ)∼exp[Bℓ^(δ'(2-δ'))]，其中δ′＝δ/d_e。参数A和B与d的关系为d=A/B，因此M(ℓ)∼[r(l)]^d。对于δ<d_e，M随exp呈指数增长，如δ=0所知，而r为常数且独立于independent。对于δ≥2d_e，我们发现幂律定标M(ℓ)∼l^dl和r(ℓ)∼l^(1/d_min)，其中d_1*d_min=d。对于嵌入在d_e=1中的网络，我们找到了预期结果，d_1=d_min=1，而对于嵌入在d_e=2中的网络，我们惊讶地发现，尽管d_ℓ>2且d_min<1，与规律相反。